Dissertation: Phases and phase transitions in SU(N) spin and Dirac systems: Auxiliary field quantum Monte Carlo studies#
Doctoral thesis / Dissertation
for the doctoral degree / zur Erlangung des Doktorgrads
Doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)
Phases and phase transitions in SU(𝑁) spin and Dirac systems:
Auxiliary field quantum Monte Carlo studies
Phasen und Phasenübergänge in SU(𝑁)-Spin- und Dirac-Systemen:
Hilfsfeld Quanten Monte Carlo Studien
Submitted by / Vorgelegt von
Jonas Schwab
from / aus
Thüngersheim
Würzburg, 2024
Abstract#
This thesis presents three interrelated projects centered around Quantum Monte Carlo (QMC) simulations and the development of computational tools to study strongly correlated quantum systems. Two of these projects leverage the QMC package Algorithms for Lattice Fermions (ALF) to investigate critical phenomena in Dirac fermions and SU(\(N\))-symmetric antiferromagnetic spin models, respectively. The third project introduces pyALF, a Python package that simplifies and enhances the use of ALF, making advanced simulations more accessible and efficient.
The first project explores nematic quantum phase transitions in Dirac fermions. The focus lies on two models with either \(C_{2v}\) or \(C_{4v}\) lattice point-group symmetry, respectively, which are spontaneously broken in the ordered phase, allowing for meandering Dirac points. These models are specifically designed to be free of the negative sign problem, allowing for efficient QMC simulations. My numerically obtained results, complemented by a collaborator’s \(\epsilon\)-expansion renormalization group study, show that both models undergo continuous phase transitions. In contrast to generic Gross-Neveu dynamical mass generation, the quantum critical regime is characterized by large velocity anisotropies, with fixed-point values being approached very slowly. Due to this slow renormalization group flow, both experimental and numerical investigations will not be representative of the infrared fixed point, but of a quasiuniversal regime where the drift of the exponents tracks the velocity anisotropy. Notably, even though the \(\epsilon\)-expansion finds qualitatively distinct fixed points for the two investigated models, the numerical investigation finds no distinction in the respective exponents. Therefore, it seems that the quasiuniversial regime is at least close to the ultraviolet beginning identical for both models, even though their infrared universality is different.
The second project investigates the ground state phase diagram of an SU(\(N\))-symmetric antiferromagnetic spin model on a square lattice. Each site hosts an irreducible representation of SU(\(N\)) described by a square Young tableau with \(N/2\) rows and \(2S\) columns. Negative sign-free QMC simulations are feasible for all values of \(S\) and even values of \(N\), allowing for a comprehensive exploration of the phase diagram. In the large-\(N\) limit, the saddle point approximation favors a four-fold degenerate valence bond solid (VBS) phase, while in the large-\(S\) limit, semi-classical approximations predict Néel order. Along a line defined by \(N=8S + 2\) in the \(S\) versus \(N\) phase diagram, we observe a rich variety of phases. For \(S = 1/2\) and \(3/2\), the system forms a four-fold degenerate VBS state, while for \(S = 1\), we identify a two-fold degenerate spin nematic state that breaks the \(C_4\) lattice symmetry down to \(C_2\). At \(S = 2\), we observe a unique symmetry-protected topological state, characterized by a dimerized SU(18) boundary state, reminiscent of the two-dimensional Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (AKLT) state. These phases proximate to the Néel state align with the theoretical framework of monopole condensation of the antiferromagnetic order parameter, with degeneracies following a \(\text{mod}(4,2S)\) rule.
The third project documents the development of pyALF, a Python-based package designed to lower the barrier of entry for users new to ALF and enhance the productivity of experienced ALF users by providing a streamlined workflow for setting up and analyzing QMC simulations. Through easily reproducible examples, the documentation introduces key concepts such as preparing, executing and postprocessing simulations. The postprocessing tools in pyALF leverage Python’s dynamic capabilities, enabling users to quickly define custom observables, such as correlation ratios and other complex order parameters. The package also allows for interactive checks of warmup and autocorrelation times, with a convenient way to adjust corresponding analysis parameters. Furthermore, the analysis tools allow researchers the implementation of improved estimators with minimal effort, leveraging e.g. lattice point-group symmetries to improve the accuracy of their results. By utilizing Python’s extensive libraries for data analysis and visualization, pyALF enhances the workflow, with data conveniently stored in pandas DataFrames for easy access.
Together, these three projects offer new insights into the study of highly correlated quantum systems and provide powerful computational tools that significantly advance numerical approaches in condensed matter physics.
Zusammenfassung#
Diese Dissertation präsentiert drei miteinander verbundene Projekte, die sich um Quantum-Monte-Carlo-Simulationen (QMC-Simulationen) und die Entwicklung von Rechenwerkzeugen zur Untersuchung stark korrelierter Quantensysteme drehen. Zwei dieser Projekte nutzen das QMC-Paket Algorithms for Lattice Fermions (ALF) zur Untersuchung kritischer Phänomene in Dirac-Fermionen bzw. SU(\(N\))-symmetrischen antiferromagnetischen Spin-Modellen. Das dritte Projekt stellt pyALF vor, ein Python-Paket, das die Nutzung von ALF vereinfacht und verbessert, um komplexe Simulationen zugänglicher und effizienter zu machen.
Das erste Projekt untersucht nematische Quantenphasenübergänge in Dirac-Fermionen. Der Fokus liegt auf zwei Modellen mit \(C_{2v}\)- bzw. \(C_{4v}\)-Gitterpunktgruppensymmetrie, die in der geordneten Phase spontan gebrochen werden, was zu mäandernden Dirac-Punkten führt. Diese Modelle sind speziell so entworfen, dass sie frei vom negativen Vorzeichenproblem sind, was effiziente QMC-Simulationen ermöglicht. Meine numerische Analyse, ergänzt durch eine \(\epsilon\)-Entwicklung-Renormierungsgruppenstudie eines Kollaborators, zeigt, dass beide Modelle kontinuierliche Phasenübergänge durchlaufen. Im Gegensatz zur generischen dynamischen Massengenerierung nach Gross-Neveu ist das quantenkritische Regime durch große Geschwindigkeitsanisotropien gekennzeichnet, wobei die Fixpunktwerte nur sehr langsam erreicht werden. Aufgrund dieses langsamen Flusses in der Renormierungsgruppe sind sowohl experimentelle als auch numerische Untersuchungen nicht repräsentativ für den infraroten Fixpunkt, sondern für ein quasi-universelles Regime, in dem das Exponenten-Driftverhalten der Geschwindigkeitsanisotropie folgt. Bemerkenswert ist, dass die \(\epsilon\)-Entwicklung qualitativ unterschiedliche Fixpunkte für die beiden untersuchten Modelle findet, die numerische Untersuchung jedoch innerhalb der Fehlergrenzen keinen Unterschied in den Exponenten erkennt. Es scheint daher, dass das quasi-universelle Regime zumindest nahe dem ultravioletten Beginn für beide Modelle identisch ist, obwohl ihre infrarote Universalität unterschiedlich ist.
Das zweite Projekt untersucht das Grundzustands-Phasendiagramm eines SU(\(N\))-symmetrischen antiferromagnetischen Spin-Modells auf einem quadratischen Gitter. Jeder Gitterplatz trägt eine irreduzible Darstellung von SU(\(N\)), die durch ein Young-Tableau mit \(N/2\) Reihen und \(2S\) Spalten beschrieben wird. Vorzeichenproblem-freie QMC-Simulationen sind für alle Werte von \(S\) und gerade Werte von \(N\) möglich, was eine umfassende Erforschung des Phasendiagramms erlaubt. Im Grenzfall großer \(N\) begünstigt die Sattelpunkt-Näherung eine vierfach entartete Valenzbindungsfestkörperphase (VBS), während im Grenzfall großer \(S\) semi-klassische Näherungen eine Néel-Ordnung vorhersagen. Entlang einer Linie, definiert durch \(N=8S + 2\) im \(S\)-gegen-\(N\)-Phasendiagramm, beobachten wir eine Vielzahl von Phasen. Für \(S = 1/2\) und \(3/2\) bildet das System einen vierfach entarteten VBS-Zustand, während wir für \(S = 1\) einen zweifach entarteten Spin-nematischen Zustand identifizieren, der die \(C_4\)-Gittersymmetrie auf \(C_2\) reduziert. Bei \(S = 2\) beobachten wir einen einzigartigen symmetriegeschützten topologischen Zustand, der durch einen dimerisierten SU(18)-Randzustand gekennzeichnet ist, der an den zweidimensionalen Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (AKLT)-Zustand erinnert. Diese Phasen in der Nähe des Néel-Zustands stimmen mit dem theoretischen Rahmen der Monopolkondensation des antiferromagnetischen Ordnungsparameters überein, wobei die Entartungen einer \(\text{mod}(4,2S)\)-Regel folgen.
Das dritte Projekt dokumentiert die Entwicklung von pyALF, einem Python-basierten Paket, das die Einstiegshürde für ALF-Nutzer:innen senkt und die Produktivität erfahrener ALF-Nutzer:innen erhöht, indem es einen optimierten Arbeitsablauf für die Einrichtung und Analyse von QMC-Simulationen bietet. Durch leicht reproduzierbare Beispiele führt die Dokumentation in zentrale Konzepte ein, wie die Vorbereitung von Simulationen, deren Ausführung und die Auswertung der Ergebnisse. Die Auswerungstools in pyALF nutzen die dynamischen Fähigkeiten von Python, wodurch Benutzer schnell benutzerdefinierte Observable wie Korrelationsbrüche (correlation ratios) und andere komplexe Ordnungsparameter definieren können. Das Paket ermöglicht auch interaktive Überprüfungen von Aufwärm- und Autokorrelationszeiten sowie eine einfache Anpassung der entsprechenden Analyseparameter. Darüber hinaus erlauben die Analysetools Forscher:innen die Implementierung verbesserter Schätzer (improved estimators) mit minimalem Aufwand, indem beispielsweise Gitterpunktgruppensymmetrien genutzt werden, um die Genauigkeit der Ergebnisse zu verbessern. Durch die Nutzung der umfangreichen Bibliotheken von Python für Datenanalyse und -visualisierung verbessert pyALF den Arbeitsablauf, wobei die Daten bequem in pandas DataFrames gespeichert werden, um einen einfachen Zugriff zu ermöglichen.
Diese drei Projekte bieten neue Einblicke in die Untersuchung stark korrelierter Quantensysteme und stellen leistungsstarke Rechenwerkzeuge bereit, die numerische Ansätze in der Festkörperphysik erheblich voranbringen.